Teoria Chaosu deterministycznego
Edward Lorenz – odkrywca chaosu
Powstanie nowej dziedziny nauki, jaką jest teoria chaosu deterministycznego, zwana także dynamiką nieliniową, datuje się na rok 1960, kiedy to Edward Lorenz, zajmujący się badaniami cyfrowych modeli pogody, po raz pierwszy zauważył nieprzewidywalność w dłuższym okresie czasu rozwoju stanu pogodowego i wybitną wrażliwość modelu na dokładność określenia stanu początkowego układu. Skonstruował on mianowicie układ nieliniowych równań różniczkowych, który w sposób uproszczony symulował zmiany pogody w pewnej ograniczonej przestrzeni. Ponieważ równania różniczkowe, a szczególnie nieliniowe rzadko mają rozwiązania analityczne, Lorenz posłużył się rozwiązaniami numerycznymi, wyliczając stan pogody, która nastąpi za bardzo krótką chwilę na podstawie stanu obecnego. Przez stan układu rozumie się kombinację wartości wszystkich jego zmiennych, takich jak np. temperatura, wilgotność, ciśnienie w poszczególnych punktach analizowanej przestrzeni. Im krótszy jest czas rozdzielający dwie kolejne chwile, tym dokładniejszych można dokonywać obliczeń, wydłuża się jednak czas ich wykonywania przez komputer.
Przeprowadzając symulacje skonstruowanego przez siebie modelu pogody, Lorenz zauważył dwa zjawiska:
Pierwsze polegało na tym, iż sposób, w jaki zmieniała się pogoda w jego modelu, był dość zbliżony do zachowań rzeczywistych pogody. Określone układy pogody „dobrej” i „złej” następowały po sobie mniej lub bardziej okresowo, jednak nigdy nie wystąpiło dokładne powtórzenie się stanu, który pojawił się kiedyś w przeszłości. Jeśli pojawiał się stan pogody zbliżony do takiego, który już się kiedyś pojawił, pogoda przez jakiś czas rozwijała się podobnie jak w przeszłości, jednak po pewnym czasie podobieństwo rozwoju obu przebiegów zmian pogodowych zanikało.
Druga obserwacja poczyniona została trochę przez przypadek. Pewnego dnia Lorenz zapragnął powtórzyć pewną symulację zmian pogodowych, by zobaczyć jego dalszy przebieg. Wpisał wartości początkowe układu do komputera i uruchomił obliczenia. Uzyskał jednak odmienne wyniki, niż te uzyskane za poprzednim razem. Różnica wyników, którą uzyskał, wynikała z tego, iż komputer wykonywał obliczenia na sześciu cyfrach znaczących, Lorenz natomiast na wydrukach dla zaoszczędzenia miejsca drukował jedynie pierwsze trzy, uznając pozostałe trzy za nieistotne. Wpisując do komputera liczby opisujące stan początkowy układu również dokonał tego zaokrąglenia. Skutkiem tego pogoda rozwijała się początkowo w sposób zbliżony do tej z poprzedniej symulacji, po pewnym czasie jednak zupełnie od niej odbiegła. W tym momencie zrozumiał, że dokładne przewidywanie pogody na długi czas naprzód NIGDY nie będzie możliwe, gdyż wykonując obliczenia na każdym kroku wprowadza się do modelu jakieś zaokrąglenia. Innymi słowy, by móc przewidywać pogodę na czas nieskończenie długi należałoby z nieskończenie dużą dokładnością wprowadzić stan początkowy układu a odstęp między poszczególnymi stanami pogodowymi musiałby być nieskończenie krótki. Skutkiem byłby oczywiście nieskończenie długi czas obliczeń nawet dla nieskończenie bliskiej przyszłości. W praktyce wszystkie urządzenia pomiarowe obarczone są pewną niepewnością pomiarową. Poszczególne punkty, w których bada się pogodę oddalone są od siebie o jakąś odległość, a komputer wykonuje obliczenia na określonej liczbie cyfr znaczących. Przewidywanie pogody możliwe jest więc jedynie w sposób krótkoterminowy. W miarę wydłużania czasu przewidywania prawdopodobieństwo trafnej prognozy pogody maleje stopniowo do zera.
Patrząc na to zjawisko z innej strony, można zauważyć, że nawet najbardziej nieznaczne zakłócenie wprowadzone do układu spowoduje, że przyszłość będzie się rozwijać w zupełnie innym kierunku, niż gdyby następowało bez tego zakłócenia. Zjawisko to zwane jest dziś wrażliwością na warunki początkowe lub „efektem motyla”, ponieważ wedle tej koncepcji fakt, że motyl poruszy skrzydełkiem lub nie, może zdecydować o pojawieniu się tajfunu za kilka miesięcy na drugim końcu globu w jednym miejscu bądź innym (Gleick, 1996).
To właśnie odkrycie było wydarzeniem, które dało początek nowej dziedzinie wiedzy zwanej dziś teorią chaosu deterministycznego. Zajmuje się ona analizą zjawisk opisywanych przez niektóre nieliniowe układy równań różniczkowych. Określenie ‘chaos’ związane jest z nieregularnością i nieprzewidywalnością zachowań tego typu układów, przymiotnik ‘deterministyczny’ mówi, że dany układ generowany jest przez ściśle określony układ równań, w którym nie ma żadnego elementu przypadkowości. Przed tym odkryciem sądzono, że deterministyczne równania dają zawsze regularny przebieg, który można przewidzieć. Obecnie wiemy już, że nie zawsze tak jest.
Równanie logistyczne i układ równań Lorenza
Równanie logistyczne
Aby lepiej zobrazować to zjawisko przyjrzyjmy się bardzo prostemu równaniu, tzw. równaniu logistycznemu:
xn+1 = r × xn × (1 - xn) R.1
Modeluje ono w prosty sposób liczebność populacji określonego gatunku w kolejnym roku w zależności od: (a) liczebności gatunku w roku poprzednim, (b) liczebności drapieżników polujących na przedstawicieli danego gatunku oraz (c) współczynnika rozrodczości r tego gatunku.
Jeśli parametr r będzie odpowiednio dobrany, np. równy r = 3,7, wielkość populacji x zmienia się z roku na rok w sposób chaotyczny. Na wykresie przedstawione są dwa przebiegi tego równania różniące się minimalnie stanem początkowym x1. W pierwszym przypadku wartość początkowa będąca podstawą wyliczania kolejnych wartości xn+1 wynosi x1a = 0,600000 (wykres niebieski), w drugim przypadku wartość początkowa wynosi x1b = 0,600001 (wykres różowy). Widać tutaj wyraźnie, że do ok. 30-tego roku oba przebiegi biegną prawie identycznie. Później nagle rozchodzą się i od ok. 40-tego roku każdy biegnie dalej swoim własnym torem. Analizując różne przypadki wartości początkowych, można zauważyć, że zmniejszanie różnicy między wartościami początkowymi w niewielkim tylko stopniu wydłuża zgodność obu przebiegów. Na każdy rząd wielkości różnicy między stanami początkowymi przypada tylko ok. 4¸6 dalszych zgodnych w przebiegu iteracji.
Rys. 1. Przebiegi równania logistycznego dla dwóch stanów początkowych różniących się od siebie o 10-6.
Innym przykładem układu chaotycznego, który był obiektem badań Edwarda Lorenza jest następujący układ równań modelujący procesy konwekcji ciepła w cieczy:
R.2
W odróżnieniu od równania logistycznego, układ ten posiada aż 3 zmienne. W kolejnych iteracjach wszystkie trzy zmienne ulegają zmianom. Stan układu w określonej chwili reprezentuje więc jeden punkt w przestrzeni 3-wymiarowej. Zmiany wartości poszczególnych zmiennych w czasie można więc przedstawić jako krzywą biegnącą w 3-wymiarowym układzie współrzędnych. Rzuty tej krzywej wzdłuż osi OX oraz OZ prezentują rysunku 2a i b. Dla lepszego zobrazowania kształtu atraktora na rys. 2 c,d,e,f przedstawionych jest kilka jego trójwymiarowych rzutów skośnych.
Jak pokazuje wzór R.2, układ opisany jest ścisłym, deterministycznym równaniem pozbawionym jakiegokolwiek elementu przypadkowego czyli stochastycznego. Jego rozwiązaniem jest wykres, który ma kształt dość regularny. Pewne fragmenty przebiegają w sposób bardzo zbliżony do tych, które już w przeszłości występowały, jednak nigdy nie pojawiają się one w sposób dokładnie taki sam. Innymi słowy, nie obserwuje się tutaj regularnego cyklu, a jedynie tzw. quasi-cykle, czyli przebiegi bardzo podobne do tych z przeszłości, jednak nigdy nie identyczne. Takie właśnie zachowania się układów fizycznych i biologicznych są polem zainteresowania teorii chaosu deterministycznego.
a,b
c,d
e,f
Rys. 2.2 a-f. Atraktor Lorenza.
2.3. Pojęcie atraktora
Słowo atraktor pochodzi od angielskiego słowa attract – przyciągać, pociągać i oznacza ono stan, do którego dąży układ dynamiczny. Układy dynamiczne opisywane są równaniami różniczkowymi, w których stan kolejny wyliczany jest ze stanu poprzedniego. Mogą one zachowywać się w trojaki sposób. Najprostszym sposobem zachowania się takiego układu jest ustabilizowanie się po pewnym czasie wszystkich zmiennych na stałych wartościach. Przykładem może być ruch wahadła, które w warunkach ziemskich prędzej czy później zatrzyma się pod wpływem sił oporu powietrza. Położenie wahadła w funkcji czasu będzie więc gasnącą sinusoidą. Mówimy w takim przypadku, że atraktorem tego układu jest punkt. Atraktor jest więc pojęciem „ideowo” zbliżonym do asymptoty. Jest to stan układu, do którego układ dąży. Mówiąc inaczej, jest to stan, który przyciąga zachowanie się układu.
W przypadku równania logistycznego xn+1 = r × xn (1 – xn) tego typu zachowanie można obserwować, gdy parametr r przyjmie wartość np. r = 2,8. Atraktorem takiego równania jest punkt x » 0,642857. Sytuację tę przedstawia krzywa niebieska na ryc. 3.
Rys. 2.3. Równanie logistyczne. Atraktor 1-punktowy dla r = 2,8 (niebieski) oraz cykliczny atraktor 4-punktowy dla r = 3,5 (czerwony).
W przypadku układu równań Lorenza również można otrzymać atraktor punktowy zmieniając nieco parametry równania. Przykładowo, zmiana w pierwszym równaniu z dx/dt = 10z(y-x) na dx/dt = 2z(y-x) daje atraktor punktowy przedstawiony na rys. 4. Jest to w tym przypadku punkt o współrzędnych x = 8,485, y = 8,485 i z = 27. Na rysunku został on przedstawiony w postaci czerwonej kropki.
Ryc.4. Punktowy atraktor zmodyfikowanego układu równań Lorenza przy zmianie pierwszego równania na dx/dt = 2z(y-x. Punkt, do którego dąży układ przedstawiony jest w postaci czerwonej kropki. Linia niebieska opisuje proces osiągania tego punktu.
Drugim sposobem, w jaki zachowują się układy nieliniowe, jest dążenie do pewnego regularnego cyklu. Pewne wartości zmiennych występują wtedy cyklicznie, powtarzając się w sposób regularny. W przypadku wahadła stan taki się pojawi, jeśli wahadło będziemy popychać w regularnych w odstępach czasu. Obojętnie, w jakim momencie puścimy w ruch wahadło i przyłożymy siłę popychającą, po pewnym czasie będzie się ono poruszać zgodnie w fazie z zewnętrzną siłą pobudzającą. Zmiany w układzie będą powtarzać się cyklicznie. Po ustabilizowaniu się cyklu, punkty krzywej, po której porusza się wahadło, utworzą nam atraktor tego układu składający się z jednej zamkniętej krzywej. W przypadku równania logistycznego pojawienie się cyklu można zaobserwować np. dla wartości współczynnika r = 3,5. Pojawia się wtedy cykl czterech powtarzających się wartości: xn » 0,383, xn+1 » 0,827, xn+2 » 0,501 i xn+3 » 0,875. Wartości te tworzą czteropunktowy atraktor tego układu (patrz ryc. 3).
W przypadku układu równań Lorenza również jest możliwa taka modyfikacja układu równań by uzyskać cykliczne zachowanie się układu. Zamiana w pierwszym równaniu wartości 10 na 2,95 daje właśnie takie zachowanie. Kształt cyklicznego atraktora tak zmodyfikowanego układu równań prezentuje rys. 2.5.
Rys. 2.5. Cykliczny kształt atraktora dla zmodyfikowanego układu równań Lorenza przy zmianie pierwszego równania na dx/dt = 2.95z(y-x). Proces osiągania tego atraktora został pominięty.
Trzecia możliwość występująca w układach chaotycznych, to pojawienie się tzw. atraktora dziwnego (strange attractor). Pojęcie to nieco odbiega od poprzednich. Nie ma tu jednoznacznego i ścisłego zbioru punktów w przestrzeni fazowej, które tworzą atraktor. Układ zachowujący się chaotycznie nigdy nie osiąga regularnego cyklu ani stanu stacjonarnego. Jednak w przypadku prostych układów, jak układ równań Lorenza, czy równanie logistyczne, można dostrzec pewną regularność zachowania się układu. Atraktor oznacza w tym wypadku obszar przestrzeni, w której obserwuje się przebiegi danego procesu. Po wejściu do tego obszaru, trajektoria przebiegu nigdy już go nie opuszcza. Zobrazowanie atraktora pozwala uwydatnić zadziwiającą ukrytą regularność niedostrzegalną często w trakcie obserwacji zjawiska.
Obrazowanie atraktora
Aby zobrazować wygląd atraktora, najczęściej przedstawia się go w tak zwanej przestrzeni fazowej (phase space) układu. Każda zmienna opisująca układ tworzy jeden wymiar tej przestrzeni. Stan układu w pewnym momencie można więc przedstawić w postaci jednego punktu w n-wymiarowej przestrzeni, gdzie n to liczba zmiennych opisujących układ. W przypadku równania logistycznego jest to jedna zmienna i jeden wymiar, w przypadku układu równań Lorenza są to trzy zmienne i trzy wymiary. Wszystkie przedstawiane powyżej wykresy przedstawione zostały w ten właśnie sposób. W przypadku bardziej złożonych układów o większej liczbie zmiennych zobrazowanie odpowiednich atraktorów napotyka na problemy natury geometrycznej. Można je wtedy przedstawić stosując tzw. przekroje Poincarégo. Na dwuwymiarowej płaszczyźnie obrazuje się dwa spośród kilku wymiarów atraktora, zaznaczając punkt na płaszczyźnie wyznaczonej przez te dwa wymiary wtedy, gdy pozostałe wymiary przyjmują ściśle określone wartości. Sposób ten gubi całościowy wygląd atraktora, pozwala to jednak wyostrzyć niektóre cechy w pewnych jego fragmentach.
Nieco innym sposobem przedstawiania cech układu dynamicznego, przydatnym szczególnie w układach jednoparametrowych (jak np. równanie logistyczne), jest obrazowanie wartości jednej wybranej zmiennej danego układu w przestrzeni o większej liczbie wymiarów. W kolejnych wymiarach przedstawiana jest wtedy wartość tej samej zmiennej, ale po określonym czasie t. Przykładowo, w przypadku równania logistycznego oś OX przedstawia nam wartość zmiennej x w n-tej iteracji a oś OY wartość tej samej zmiennej x w jednej z następnych iteracji, czyli np. w iteracji (n+1)-szej.
Kształt takiego atraktora równania logistycznego z ryc. 1 (gdy parametr r przyjmuje wartość 3,7 a wartość początkowa wynosi x1=0,001) przedstawiono na ryc. 6a. Jeśli na osi OX zaznaczymy wartość punktu w pewnej iteracji, na osi OY wartość punktu w iteracji następnej, to tak utworzony zbiór punktów wygeneruje nam atraktor o kształcie paraboli (rys. 2.6a). Cztery pojedyncze punkty po lewej stronie wykresu, odpowiadające początkowym stanom układu, obrazują proces zbliżania się do atraktora. Jeśli na osi OY przedstawiona jest wartość punktu po 4 iteracjach w stosunku do osi OX, atraktor ma kształt jak na ryc. 6b. Jeśli odległość miedzy punktami będzie zbyt duża (np. 30 iteracji), struktura atraktora zostanie zatarta (ryc. 6c). Jest to związane z opisywanym wcześniej ‘efektem motyla’ – minimalna zmiana wartości zmiennej x w jakimś punkcie powoduje znaczną zmianę wartości punktu po dłuższym okresie czasu (30 iteracji).
Rys. 6a,b,c. Atraktor równania logistycznego dla r = 3,7. Kolejne wykresy (a-c) przedstawiają, jak się będzie kształtować wartość zmiennej X po 1, 4 oraz 30 iteracjach.
Podobnie można również zobrazować atraktor Lorenza. Rys.7a-f przedstawiają wartości jednej tylko zmiennej x w przestrzeni trójwymiarowej. Oś OX przedstawia wartość tej zmiennej w wybranej chwili, oś OY po czasie dt, a oś OZ - po czasie 2dt. Rysunki 7a,c,e przedstawiają rzuty atraktora wzdłuż głównej przekątnej tej przestrzeni (główna przekątna widoczna jest jako punkt), natomiast rysunki 7b,d,f przedstawiają rzuty na główną przekątną z boku. W zależności od tego, jak dobierzemy wartość odstępu czasowego dt, uzyskujemy odmienny wygląd atraktora. Widzimy więc, że dobór tego parametru jest w tym wypadku istotnym zagadnieniem. Rysunki 2.7a i b przedstawiają kształt atraktora przy zbyt małej wartości parametru dt (dt = 1). Widzimy tutaj, że wszystkie punkty układają się w pobliżu głównej przekątnej, co jest związane z tym, że jeśli wartość dt jest zbyt mała, to wartość zmiennej x niewiele się zdąży zmienić w ciągu tego czasu. Trzy współrzędne każdego punktu atraktora mają więc bardzo podobne wartości i układają się w pobliżu głównej przekątnej.
Wygląd atraktora uzyskany dla dt = 5 przedstawiają rys. 7c,d. Widzimy tutaj, że nie ma skupiania się punktów wokół głównej przekątnej a kształt otrzymanej krzywej jest dość podobny do tej z rysunków 2a-f. Odstęp dt = 5 jest więc prawidłową wartością dla obrazowania atraktora w takim układzie.
Rys. 2.7ab. Wartość zmiennej x z układu równań Lorenza w 3-wymiarowej przestrzeni, w której drugi i trzeci wymiar przedstawia wartość zmiennej x odpowiednio po 1 i 2 iteracjach. Punkty układają się wzdłuż głównej przekątnej atraktora.
Rys. 2.7cd. Wartość zmiennej x z układu równań Lorenza w 3-wymiarowej przestrzeni, w której drugi i trzeci wymiar przedstawia wartość zmiennej x odpowiednio po 5 i 10 iteracjach. Punkty układają się w miarę równomiernie w całej przestrzeni. Struktura atraktora jest dobrze widoczna.
Rys. 2.7ef. Wartość zmiennej x z układu równań Lorenza w 3-wymiarowej przestrzeni, w której drugi i trzeci wymiar przedstawia wartość zmiennej x odpowiednio po 50 i 100 iteracjach. Struktura atraktora przestaje być widoczna ze względu na zbyt dużą wartość dt.
Jeśli jednak odstęp ten będzie zbyt duży, zatracamy kształt atraktora. Sytuację taką prezentują rysunki 7ef, na której przedstawiony jest atraktor uzyskany przy wybraniu odstępu dt = 50.
Omawiając pojęcie atraktora konieczne jest zwrócenie uwagi na fakt, że kształt atraktora jest niezależny od tego, z jakiego punktu przestrzeni rozpoczniemy analizę. Innymi słowy, atraktor układu jest niezależny od wartości punktu początkowego. Co najwyżej, proces osiągania atraktora może zająć więcej lub mniej kroków. Proces może też nie osiągnąć atraktora, jeśli punkt początkowy będzie zbyt odległy. W przypadku równania logistycznego x1 musi mieć wartość między 0 a 1. W przypadku atraktora Lorenza ryc. 8 obrazuje sytuację, w której zanalizowane zostały dwa przebiegi atraktora różniące się nieco stanem początkowym. Początek przebiegu obu krzywych widoczny jest w prawej dolnej części wykresu. Krzywa niebieska obrazuje przebieg, w którym atraktor Lorenza zostaje po pewnym czasie osiągnięty, natomiast krzywa czerwona obrazuje przebieg, w którym atraktor nie zostaje nigdy osiągnięty ze względu na zbyt dużą odległość od atraktora.
Rys. 2.8. Dwa przebiegi różniące się nieco stanem początkowym. Przebieg oznaczony linią niebieską osiąga atraktor Lorenza, natomiast przebieg opisany linią czerwoną nie osiąga go ze względu na zbyt dużą odległość od atraktora.