Strona główna Strefa pacjenta Artykuły Rejestracja wizyt E-booki Science zone

 

 

Temat:

Czym jest teoria chaosu?
Czym jest złożoność wymiarowa?
Wyznaczanie złożoności wymiarowej
Chaos wysokowymiarowy (HDS)
Przykłady
Chaos w układach biologicznych i medycynie
Download package

 

 

   Teoria Chaosu deterministycznego

  

Złożoność wymiarowa

Definicja

       Przebiegi różnych zmiennych opisujących układ dynamiczny można z reguły przedstawić na wykresie w funkcji czasu. Takie pojedyncze jednowymiarowe przebiegi w czasie nazywamy sygnałami. Jeśli układ opisywany jest przez kilka zmiennych (np. układ równań Lorenza), to wytwarza on odpowiednią liczbę sygnałów, po jednym dla każdej zmiennej. Każdy z sygnałów można poddać analizie matematycznej określającej stopień jego złożoności. Jednym z często używanych pojęć opisujących układ chaotyczny jest złożoność wymiarowa (Dimensional Complexity, dc). Parametr ten w sposób ilościowy opisuje stopień skomplikowania i nieregularności badanego przebiegu.

Wcześniej sądzono, że złożoności różnych sygnałów pochodzących z tego samego układu równań, czyli różne zmienne tego układu, mają tę samą złożoność wymiarową. Moje obliczenia pokazują, że nie musi to być prawda. Złożoności różnych sygnałów generowanych przez dany układ równań mogę się od siebie różnić.

Pojęcie złożoności wymiarowej jest pewnym uogólnieniem pojęcia wymiaru w znaczeniu geometrii euklidesowej. Mówimy na przykład, że odcinek ma jeden wymiar, koło dwa, a kula trzy. Wymiar w takim znaczeniu może przyjmować jedynie wartości całkowite. Z faktu, że kula ma trzy wymiary wynika, że jej objętość oraz masa rosną z trzecią potęgą jej promienia: r3. Jeśli byśmy natomiast znali relację, w jaki sposób wzrasta „masa” badanego obiektu w miarę wzrostu jego pojedynczego wymiaru, to odwracając zależność rd, otrzymamy wzór na jego wymiar: ~ log / log r. W ten sposób zdefiniowany wymiar mógłby, jak widać, przybierać również wartości ułamkowe. To właśnie równanie jest podstawą definicji pojęcia złożoności wymiarowej.

O ile w przypadku bryły pojęcie masy i rozmiaru w pojedynczym wymiarze jest intuicyjnie proste do zrozumienia, to w przypadku, gdy badaniu złożoności poddawany jest sygnał, czyli ciąg wartości liczbowych, sprawa jest trudniejsza. Złożoność wymiarową formalnie definiuje się jako  (Pritchard & Duke, 1995):

,                                                             R.3

We wzorze tym – opisuje rozmiar obiektu w pojedynczym wymiarze, – całkowitą „wielkość” obiektu a dc – jego wymiar. Pojęcie „wielkość” zostało umieszczone w cudzysłowie, gdyż jego znaczenie jest płynne. W zależności od kontekstu może to być odległość liniowa, powierzchnia, objętość, masa, a nawet ilość informacji w bitach.

W celu lepszego zobrazowania tego pojęcia przyjrzyjmy się prostemu fraktalowi przedstawionemu na rys. 9. Weźmy odcinek, podzielmy go na 3 równe części, następnie środkową część zastąpmy dwoma odcinkami o tej samej długości, tworzącymi ramiona trójkąta równobocznego jak na ryc. 9. Uzyskujemy w ten sposób 4 odcinki o długościach równych 1/3 długości odcinka początkowego. Następnie wykonajmy tę procedurę na każdym z tych 4 odcinków. Uzyskamy zbiór 16 odcinków o długościach 1/9 długości odcinka początkowego. Jeśli procedurę tę powtórzmy nieskończoną ilość razy, uzyskamy zbiór punktów, który jest czymś więcej niż prostą, ale czymś mniej niż płaszczyzną. Wymiar tego obiektu musi być więc wartością pomiędzy 1 i 2. Zauważmy, że jeśli spojrzymy na ten obiekt pod 3-krotnym powiększeniem, uzyskujemy dokładnie taki sam obiekt, widzimy jednak jedynie ¼ jego poprzedniej masy. Oznacza to, że wraz z 3-krotnym zmniejszeniem rozmiaru liniowego obiektu jego masa maleje 4-krotnie. Jego wymiar wynosi więc = log 4 / log 3 » 1.2619.

 

 

Ryc.9. Przykład fraktala o ułamkowym wymiarze » 1,2619.